이산수학

[17] 이산수학 ( 계수 기초_#02)

# 이항 정리 # 파스칼 방정식 # 파스칼 삼각형 # 반복을 허용하는 순열 반복이 허용되는 경우, n개를 r개 뽑는 것 # 반복을 허용하는 조합 원소를 구분하기 위한 칸막이 수 = n-1, # 구별할 수없는 객체의 순열 따로따로 C를 구해서 곱한다. 들어갈 수 있는 칸은 앞의 경우의 수를 고려하면 점점 줄어든다. # 객체를 상자에 분배하기 많은 계수 문제들은 객체들을 상자에 넣는 방법의 수를 세는 것으로 풀 수 있다. # 순열 만들기 사전순 정렬 : 앞에서부터 작은 숫자나 먼저 오는 알파벳이 앞에 온다. # 조합 만들기 규칙이 있다. 뒤에 것이 앞에 것보다 무조건 커야한다는 규칙을 만족시키려면 순열과는 다르게 구해야 한다.

[16] 이산수학 ( 계수 기초 )

계수의 개념 계수란 특정 성질을 갖는 사물의 수를 세는 것을 말한다. 순열 조합을 하기 위해 사용한다. # 곱셈 법칙 하나의 과정이 여러 개의 독립적인 작업들로 구성되어 있을 때 적용할 수 있다. # 덧셈 법칙 겹치지 않고, 여러 가지의 방법 중 하나의 방법으로 수행할 수 있을 때 # 뺄셈 법칙 겹치는 것 빼는 것. # 나누셈 법칙 공통된 개수가 있을 때 나눌 수 있다. # 트리 도표 # 비둘기집 원리 비둘기집이 19개인데 20마리의 비둘기가 오면 적어도 한 집에는 적어도 1집에는 2마리가 들어간다. # 순열 순서 있게 나열한다. 따라서 순서가 중요하다 # 조합 순서와 무관하게 원소들을 선택하는 방법

[14] 이산수학 ( 그래프의 표현)

# 단순 그래프 한 쌍의 정점 사이에 많아도 하나의 연결선으로 이루어진, 우리가 통상 다루는 그래프로서 루프가 없는 그래프를 말한다. # 멀티 그래프 단순 그래프의 확장으로서 한 쌍의 꼭지점 사이에 연결선 개수의 제한이 없는 일반적인 그래프를 말한다 # 인접 리스트 (adjacency list) 다중 모서리를 갖지 않는 그래프를 표현하는 여러가지 방법 중 하나이다. 인접리스트는 각 꼭지점에 인접한 꼭지점들을 모두 나열하는 것을 말한다. # 동형 그래프(isomorphism of graphs) 위상이 다르더라도 대응되는 점이 있으면 동형이라 할 수 있다. # 오일러 순환 그래프 𝐺의 오일러 순환(Euler circuit)은 𝐺의 모든 모서리를 포함하는 단순 순환이다. # 해밀턴 경로 해밀턴 경로란 그래프에..

[12] 이산수학(관계)

관계(Relation) A와 B를 집합이라고 하자. A에서 B로의 이항관계(binary relation from A to B)는 두 집합의 곱집합 A x B의 부분집합이다. # 관계와 함수 집합 A에서 집합 B로의 함수 f는 A의 각 원소가 B의 원소 하나에 연결된다. A에서 B로의 관계 R은 두 집합 원소 사이의 일대다 관계로 표현할 수 있다. # 역관계 집합 A에 B로의 관계 R이 있을 때, B에서 A로의 관계를 R에 대한 역관계라고 한다. # 관계 행렬(Relation Matrix) 부울 행렬을 이용하는 방법으로서, 관계 행렬은 집합 A에서 집합 B으로 가는 관계 R에 대한 n x m 행렬로 정의할 수 있다. # 반사관계 집합 A에 대한 관계 R이 A에 속한 a들에 대해 R에 속한 (a,a)가 되면..

[10] 이산수학(정수의 표현과 알고리즘, 소수와 최대공약수)

정수의 표현 : 우리는 일상생활에서 10진법을 이용하여 정수를 표현한다. 하지만 컴퓨터는 연산할 때 2진법을 사용하고, 문자나 숫자 등을 표현할 때 8진법 또는 16진법을 사용한다. 정수 n을 위의 그림처럼 표현한 것을 n의 밑 b 전개(base b expansion of n)라 한다. 2진수 곱셈 : 10진수가 10의 자리마다 들여쓰기를 하는 것처럼, 2진수는 2의 자리마다 들여쓰기한다. 소수 : 1보다 큰 모든 정수는 최소한 두 정수(1과 자기 자신)로 나누어 떨어진다. 정확히 두 개의 서로 다른 양의 정수가 약수인 양의 정수를 소수(prime)라고 한다. 대수학의 기본 정리 : 1보다 큰 모든 정수는 소수이거나, 둘 이상의 소수의 곱으로 표현할 수 있다. 소수 판별법 : 만약 n이 합성수라면, n의..

[09] 이산수학(행렬을 이용한 연산)

주대각선 : 파란색으로 표시된 부분의 성분은 행렬 A의 주대각선 상에 있다. 대각합 : 주대각선 위 모든 성분들을 대각항이라 하고, 대각항들의 합을 대각합이라고 한다. 정방행렬 A의 대각합은 tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다. 행렬의 대각합은 행과 열 번호가 같은 성분들의 합과 같다. 영행렬(Zero matrix) : 성분이 모두 0인 행렬 모든 i,j에 대하여 a(ij) = 0인 행렬을 말하며, 간단히 볼드체의 O이라고 표기한다. 교대 행렬(Skewed-symmetric matrix) : 전치행렬에 (-)를 붙인 n x n 행렬을 교대행렬이라고 한다. 삼각 행렬(Triangular matrix) : 상부삼각행렬(upper triangular matrix) : 주대각선 아래에 있는 모든 항들이 ..

[08] 이산수학(수열과 행렬)

주제 : 수열과 행렬 수열이란 정수 집합의 부분집합으로부터 집합 s로의 함수이다. (ex. 등차수열, 등비수열) 점화 관계란 앞서 나온 항들 간의 재귀적 규칙성을 이용하여 다음에 올 항들을 나타내는 것이다. 특히, 점화 관계가 효력을 나타내기 시작하는 항에 앞서서 나타나는 항을 초기 조건(initial conditions)라고 한다. 피보나치수열 점화 관계의 해 : 초기 조건이 수반된 점화 관계를 푸는 것, 또는 "해를 구하시오."라는 의미 점화 관계로부터 수열의 닫힌 공식(closed formula)라고 부르는 수열의 일반항을 구하는 것 점화 관계의 방법들: 반복법 : 점화 관계를 반복적으로 사용하여 해를 찾는 방법 특수한 정수 수열 : 패턴 찾기 같은 값이 계속 나타나는가? 즉, 같은 값이 연속해서 ..

[07] 이산수학(함수)

주제 : 함수 함수 : 한 집합의 각 원소를 다른(또는 같은) 집합의 특정 원소와 관련 짓는 것 함수는 때때로 사상 또는 변환이라고도 한다. 단사 함수 : 일대일 함수 단사 함수 보장 조건 : 전사 함수 : 정의역 A, 공역 B가 있을 때, B에 속한 모든 원소 b에 대하여 f(a) = b인 A에 속한 a가 존재할 경우 f를 전사 함수라고 한다. 전단사 함수 : 단사 함수이고 동시에 전사 함수인 함수(일대일 대응 관계) 역함수 : f가 A로부터 B로의 전단사 함수라고 하자. f의 역함수는 B의 원소 b에 A의 원소 a를 다른 것과 중복되지 않게 대응시키는 함수이다. 역함수를 만들 수 있는 전단사 함수는 가역함수, 전단사 함수가 아닌 경우 비가역 함수이다. 함수의 합성 : g가 집합 A로부터 집합 B로의 ..